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牛吃草问题公式(一个公式解决“牛吃草”问题)

牛吃草问题公式




什么是牛吃草问题首先咱们来思考两个问题:
1.什么是牛吃草问题。通过引例了解一下。
【引例】一片牧场,草每天都在以均匀的速度生长。这片草地可供 12 头牛吃 4 天,9 头牛吃 6 天。那么,请问多少头牛 2 天就能吃完?也就是牛一边在吃草,草也在生长。
公式是什么样子
1.基本公式:y=(N-x)*T。y 指的是原有草量,牛开始吃之前草地上的草量,N 指的是牛的数量,N 取的汉语拼音牛 niu 的首字母 N,x 指的是草长的速度,T 是时间,原有草量=(牛数-草长速度)*时间。
2.隐含前提:例如 N=5,说明是 5 头牛,草长的速度指的是每天草长的量,单位应该是 kg/天,5 头牛-kg/天,单位不一样,严格来说是不能减的,这里涉及到一个隐含前提,每头牛吃草的效率(即速度)为“1”,所以“N”的真实含义是指“N 头牛吃草的速度为 N”。
3.原理:要解决牛吃草问题靠的都是这个公式,解释下公式的合理性,假定原有草量是 40 份,牛的数量为 5 头,牛吃草的速度是 5 份,草长的速度为1 份,5 份-1 份=4 份,4 份指的是每天减少 4 份,40 份每天减少 4 份,可以坚持10 天,本质含义是原有草量=每天减少量*时间。核心是记住公式,y=(N-x)*T。
? 经典型牛吃草问题
01
一片牧场,草每天都在以均匀的速度生长。这片草地可供 12 头牛吃 4 天,9 头牛吃 6 天。那么,请问多少头牛 2 天就能吃完?
A.20  B.21  C.22  D.23
【解析】记住牛吃草公式:y=(N-x)*T。当 N=12 时,T=4;当 N=9 时,T=6,代入公式,y=(12-x)*4①;y=(9-x)*6②;两个方程两个未知数,二元一次方程组,可以解出唯一解。【选 B】
【注意】列出方程,y=(12-x)*4①;y=(9-x)*6②,熟练以后,就可以直接写两个方程相等,(12-x)*4=(9-x)*6,24-2x=27-3x,解得 x=3,这样写可以节省时间。
02
[2012-浙江]某演唱会检票前若干分钟就有观众开始排队等候入场,而每分钟来的观众人数一样多。从开始检票到等候队伍消失,若同时开 4 个入场口需 50 分钟,若同时开 6 个入场口则需 30 分钟。问如果同时开 7 个入场口需几分钟?
A.18 分钟   B.20 分钟   C.22 分钟   D.25 分钟
【解析】类似 6 头牛吃 30 分钟,完全套用牛吃草问题的公式,y=(N-x)*T,列式:y=(4-x)*50①;y=(6-x)*30②,答案【选 D】
小结1.判别:
(1)特征:“N(‘牛’数)+T(时间)”形式的排比句,12 头牛吃 4 天,9头牛吃 6 天,两句话是对称的,变形:4 个入场口吃 50 分钟,6 个入场口吃 30分钟。
(2)常见的“牛吃草”;入场口“吃”人;水池排水;资源开采等。
2.套公式:把 N、T 代入公式,y=(N-x)*T。
3.解方程:先约分再计算。能约分先约分,能够节省时间。
03[2019-联考]某河道由于淤泥堆积影响到船只航行安全,现由工程队使用挖沙机进行清淤工作,清淤时上游河水又会带来新的泥沙。若使用 1 台挖沙机 300 天可完成清淤工作,使用 2 台挖沙机 100 天可完成清淤工作。为了尽快让河道恢复使用,上级部门要求工程队 25 天内完成河道的全部清淤工作,那么工程队至少要有多少台挖沙机同时工作?
A.4   B.5  C.6   D.7
【解析】1 台挖沙机 300 天,相当于 1 头牛吃 300 天,2 台挖沙机 100 天,相当于 2 头牛吃 100 天,牛吃草问题,套入公式,y=(N-x)*T,代入数据:y=(1-x)*300①;y=(2-x)*100②,答案【选 D】
04[2017-河北]有一个水池,池底不断有泉水涌出,且每小时涌出的水量相同。现要把水池里的水抽干,若用 5 台抽水机 40 小时可以抽完,若用 10台抽水机 15 小时可以抽完。现在用 14 台抽水机,多少小时可以把水抽完?
A.10 小时   B.9 小时   C.8 小时   D.7 小时
【解析】5 台抽水机 40 小时可以抽完、10 台抽水机 15 小时可以抽完,类似 5 头牛 40 小时吃完、10 头牛 15 小时吃完,牛吃草问题,套入公式,y=(N-x)*T,代入数据,y=(5-x)*40①;y=(10-x)*15②,答案【选 A】
小结三步走:
1.判别:特征:“N(‘牛’数)+T(时间)”形式的排比句,常见“牛吃草”;入场口“吃”人、水池排水、资源开采等。
2.套公式:把 N、T 代入公式,y=(N-x)*T。
3.解方程:先约分再计算。
? 可持续发展型牛吃草问题
05[2011-北京]假设某地森林资源的增长速度是一定的,且不受到自然灾害等影响,那么若每年开采 110 万立方米,则可开采 90 年,若每年开采 90万立方米,则可开采 210 年。为了使这片森林可持续开发,则每年最多开采多少万立方米?
A.30   B.50  C.60   D.75
【解析】若每年开采 110 万立方米,则可开采 90 年,若每年开采 90万立方米,则可开采 210 年,类似牛的数量和时间,牛的数量 N+时间 T 的排比句式,牛吃草问题,套入公式,y=(N-x)*T。代入数据,y=(110-x)*90①;y=(90-x)*210②,为了使这片森林可持续开发,可持续开发指的是一直开发下去,永远“吃不完”,问每年最多开采多少万立方米,x 指的是草长的速度,y 指的是原有草量,草就是森林资源,x=75,说明每年长 75 份的森林资源(用份来表示单位万立方米),原有草量为 y=3150,每年吃 75 份,说明原有的草量会一直保存,如果每年吃 76 份,每年倒吃一份,说明总有一天会吃完,此时最多吃 75 份,对应 D 项。【选 D】
小结
可持续发展型牛吃草问题,N 最大为 x。
06[2013-国考]某河段中的沉积河沙可供 80 人连续开采 6 个月或 60人连续开采 10 个月。如果要保证该河段河沙不被开采枯竭,问最多可供多少人进行连续不间断的开采?(假定该河段河沙沉积的速度相对稳定)
A.25    B.30   C.35    D.40
【解析】“可供 80 人连续开采 6 个月或 60 人连续开采 10 个月”,相当于 80 头牛吃 6 个月、60 头牛吃 10 个月,是“牛数+时间”的排比式,属于牛吃草问题,套公式 y=(N-x)*T,列方程:y=(80-x)*6,y=(60-x)*10,“如果要保证该河段河沙不被开采枯竭,问最多可供多少人进行连续不间断的开采”,说明永远吃不完,属于可持续发展型,此时 N 最大为 x,解方程,x=30,y=300,本题和 y 无关,可以不求 y,解出 x 即可,“连续开采”,说明中间不能断开,对应 B 项。【选 B】

小结
可持续发展型小结:1.特征:永远“吃”不完。2.解题关键:N 最大为 x。
? 拔高型牛吃草问题
07[2011-内蒙古]某水库共有 10 个泄洪闸,当 10 个泄洪闸全部打开时,8 小时可将水位由警戒水位降至安全水位;只打开 6 个泄洪闸时,这个过程为 24 个小时,如水库每小时的入库量稳定,问如果打开 8 个泄洪闸时,需要多少小时可将水位降至安全水位?
A.10    B.12    C.14    D.16
【解析】“当 10 个泄洪闸全部打开时,8 小时可将水位由警戒水位降至安全水位,只打开 6 个泄洪闸时,这个过程为 24 个小时”,显然给了牛数+时间的排比式,典型的牛吃草问题,套公式,y=(N-x)*T,列式:y=(10-x)*8,y=(6-x)*24,答案【选 B】

小结
1.可以对比下面的例8进行理解。
2.原水位高于安全水位,所以解出来 y 是正数。
08[2017-联考]由于连日暴雨,某水库水位急剧上升,逼近警戒水位。假设每天降雨量一致,若打开 2 个水闸放水,则 3 天后正好到达警戒水位;若打开 3 个水闸放水,则 4 天后正好到达警戒水位。气象台预报,大雨还将持续七天,流入水库的水量将比之前多 20%。若不考虑水的蒸发、渗透和流失,则至少打开几个水闸,才能保证接下来的七天都不会到达警戒水位?
A.5    B.6    C.7    D.8
【解析】例 8.本题较难,“若打开 2 个水闸放水,则 3 天后正好到达警戒水位;若打开 3 个水闸放水,则 4 天后正好到达警戒水位”,相当于 2 头牛吃 3天,3 头牛吃 4 天,给了牛速+时间,属于典型的牛吃草问题,代入公式 y=(N-x)*T,y=(2-x)*3,y=(3-x)*4,化简得:6-3x=12-4x,解得:x=6,y=-12,y是负数,是因为本题出现“某水库水位急剧上升,逼近警戒水位”,说明原水位实际上是低于警戒水位的。“流入水库的水量将比之前多 20%”,流入水库的水量是 x 多了 20%,一边水闸在放水,一边流入到水库中,相当于草在长,则 x’=6*1.2=7.2,套公式,-12=(N-7.2)*T,“接下来的七天都不会到达警戒水位”,说明 T=7,解得:N=7.2-12/7≈7.2-1.7=5.5,即至少是 5.5,说明 N 需要≥5.5,对应 B 项。【选 B】

小结
1.为什么-12 不等于 0:解出 y=-12,因为例 7 是原水位高于安全水位,所以 y 是正数,例 8 解出 y 是负数,说明原水位低于警戒水位,标准水位是 0。
2.1.2 怎么来的:多了 20%,在原有基础上*1.2;比如:去年工资是 100,多 20%,今年就是 100*1.2=120。本题中多 20%就是指每天多 20%。
3.例 7 出现安全水位,例 8 出现警戒水位,二者是一个意思。
09进入冬季,天气变得越来越冷,牧场上的草不仅不生长,反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 10 天,或可供 15 头牛吃12 天。请问这样的一片草地,可供多少头牛吃 20 天?
A.3   B.4  C.5   D.6
【解析】“牧场上的草不仅不生长,反而以固定的速度在减少”,说明草在减少,读题发现是牛吃草问题,代入公式 y=(N-x)*T,列式:y=(20-x)*10,y=(15-x)*12,两式先约掉 2,化简得:(20-x)*5=(15-x)*6,解得:x=-10,y=300,x 是负数,一般草是增加的,解出来 x 就是正数,本题草在减少,说明 x 是负数,无论是正负都不重要,套公式即可。300=[N-(-10)]*T,“吃20 天”,说明 T=20,解得:N=5,对应 C 项。【选 C】

小结
1.一般可以通过题目知道数据是正数还是负数,但是不重要,可以直接套公式,这就是一个公式解决“牛吃草”问题。
2.y 表示原有草量。
10[2013-河北]某医院有一氧气罐匀速漏气,该氧气罐充满后同时供 40 人吸氧,60 分钟后氧气耗尽,再次充满该氧气罐同时供 60 个人吸氧,则45 分钟后氧气耗尽。问如果该氧气罐充满后无人吸氧,氧气耗尽需要多长时间?
A.一个半小时   B.两个小时
C.两个半小时   D.三个小时
【解析】“某医院有一氧气罐匀速漏气”,相当于草在减少,“供 40人吸氧,60 分钟后氧气耗尽,再次充满该氧气罐同时供 60 个人吸氧,则 45 分钟后氧气耗尽”,相当于 40 头牛吃 60 分钟,60 头牛吃 45 分钟,属于牛吃草问题,根据 y=(N-x)*T 列式:y=(40-x)*60,y=(60-x)*45,解方程组先约分,解得 x=-20,y=3600,继续套公式,3600=[N-(-20)]*T,“无人吸氧”,说明N=0,解得 T=180 分钟=3 小时,对应 D 项,【选 D】
小结
拔高型:
1.特征:x 或 y 为负数。
2.解题关键:无论正负,直接套公式。
【答案汇总】1-5:BDDAD;6-10:BBBCD
粉笔小结:
1.三步走:(1)判别:①特征:“N(牛数)+T(时间)”形式的排比句。②常见的“牛吃草”:入场口“吃”人、水池排水(一边排水,一边进水)、资源开采(一边开采,一边生长)等。(2)套公式:把 N、T 代入公式:y=(N-x)*T。(3)解方程:先约分再计算。只要掌握公式,多做几套题目就会发现很简单。
2.常考题型:
(1)经典型:解题思路:三步走。
(2)可持续发展型:
①特征:永远“吃”不完。
②解题关键:N 最大为 x。
(3)拔高型:
①特征:x 或者 y 为负数。
②解题关键:直接套公式。

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